他似乎也从未在其他地方详细阐述过这一点。费马去世后，他的儿子塞缪尔出版了新版《算术》，其中收录了他父亲在页边距中所做的所有笔记。笔记中的数学命题通常没有写下证明，留下了极具诱惑力的挑战。几年之内，读者几乎证明了所有命题，除了关于高维毕达哥拉斯阵列的命题，这是“最后一个”未经证明的命题（费马大定理也被称为“费马最后定理”）。

几个世纪以来，费马大定理一直被科学家、业余爱好者和“民间科学家”所追寻，每次他们似乎已经接近了，却发现无路可走。（数学王子高斯是早期少数几个抵制其魅力的数学家之一，他将其斥为“一个孤立的命题，我对它毫无兴趣。”）法国科学院为此设立了相当数量的奖励。但即使是最优秀的数学家在费马大定理上也取得有限的进展。费马在他的笔记中给出了 n=4 时该定理的证明。数学家后来证明该定理对 n 是正确的

但他们的探索却收获了其他东西。从失败的灰烬中诞生了深奥的理论，开辟了广阔的数学新领域。1847 年，法国数学家奥古斯丁·路易·柯西和他的对手加布里埃尔·拉梅都认为他们已经用包含虚数的复数系统证明了费马大定理。典型的虚数是 bi，其中 i = √(-1)；b 是实数。复数写作 a+bi，实部为 a，虚部为 bi。

柯西和拉梅的证明基于一个被普遍认为是正确的猜想：复数和实数一样，可以分解成一组唯一的素数对。例如，6=2×3，除了将分解顺序改为3×2，没有其他结果。但令两人尴尬的是，他们同时代的德国数学家恩斯特·库默证明了某些复数可以有多种素因数分解方式。例如，6 + 0i 可以分解成 2 x (√2 + i) x (√2 – i) 或 (1 + √5i) x (1 – √5i)。

为了恢复复数特有的质因数分解性质，库默尔创造了一个新的代数概念——理想，这在抽象代数的发展中起到了重要作用。美国代数学家伦纳德·尤金·迪克森在20世纪初写道，库默尔的创造是“上个世纪最重要的科学成就之一”。

但费马大定理的证明就此停滞了。19世纪中后期，大多数主流数学家都追随高斯的选择，将费马大定理的证明搁置了。他们已经用尽了所有可能的方法，却无法得出新的解决方案。试图证明或者推翻费马大定理，需要耗费巨大的时间和精力。一个有前途的数学家可能用一生的时间去思考，但最终他的脑袋已经疲惫不堪，无法拿出与他的努力相称的成果。

切入点：谷山-志村猜想

怀尔斯 10 岁时第一次接触到费马大定理。和许多怀有数学梦想的孩子一样，他幻想着能够解开这个定理。但在剑桥攻读博士学位期间，怀尔斯听从了导师的建议，选择避开这个可能的死胡同。相反，他转而研究椭圆曲线，这在密码学中非常有用。椭圆曲线的图形看起来像甜甜圈的表面。

怀尔斯到普林斯顿大学数学系任教后，1986年，加州大学伯克利分校的数论学家肯·里贝特提出了一个出人意料的想法，对费马大定理的证明具有深远的意义。30年前，东京大学的两位年轻学者谷山丰和志村五郎提出了“谷山-志村猜想”，建立了椭圆曲线（代数几何中的对象）和模形式（数论中使用的某种周期全纯函数）之间的重要联系。

模形式是数论中常用的工具。它们存在于四维双曲空间（弯曲空间）中，具有惊人的对称性。就像正方形可以通过绕其中心旋转四分之一圆来重建一样，模形式在旋转、反射或其他变换后仍然可以重建自身。另一方面，椭圆曲线本身是一种代数结构。当你在复平面上绘制满足 y2= x3+ Ax + B（A 和 B 为常数）的图像时，你会得到一条椭圆曲线。

谷山和志村提出了一个大胆而激进的想法：模形式是椭圆曲线的另一种形式。如果他们的猜想正确，那么迄今为止关于模形式的所有研究成果都可以用椭圆曲线的语言来表达，反之亦然。证明这一猜想将成为统一数学不同分支的关键。

这或许是证明或证伪费马大定理的一次突破。20世纪70年代，一位名叫Yves Hellegouarch的法国博士生证明，如果费马大定理是错误的，即能找到方程an+bn=cn（n>2）的一组整数解（a，b，c），那么就能得到一条满足条件y2=x（x-an）（x+bn）的椭圆曲线。十年后，德国数学家Gerhard Frey进一步指出，只有谷山-志村猜想错误，上述椭圆曲线才会存在。或者说得更直接一点：一旦谷山-志村猜想成立，那么费马大定理就必定成立。

里贝特证明了弗雷猜想是正确的。这激励了怀尔斯，他现在可以继续实现童年的梦想，证明费马大定理，而不必偏离主流数学研究。他躲在家里的阁楼里，决心证明谷山-志村猜想。

险些酿成悲剧

1993 年 12 月，在剑桥演讲六个月后，怀尔斯几乎没有告诉任何人，数学界等待了几个世纪的证明正在土崩瓦解。只有他的论文审稿人和他最亲密的朋友知道这个证明是有缺陷的。谣言开始传播，说怀尔斯根本没有证明费马大定理，数学家们要求他公开原始手稿。如果有错误，他的同行们希望有人能神奇地发现并纠正它们。

但怀尔斯不想让别人独享荣誉。他回到阁楼，独自一人，甚至连担任怀尔斯非官方新闻联络人的里贝特都联系不上他。“不知何故，人们都认为，‘你需要证明费马大定理，如果你不证明，你就有麻烦了，’”普林斯顿大学数学教授、怀尔斯的朋友彼得·萨纳克说。

萨纳克劝说怀尔斯找一个合作者来修复这个缺陷，哪怕只是为了“让他的想法不被太熟悉的人所利用”。怀尔斯打电话给他以前的学生理查德·泰勒，当时他是剑桥大学著名的数论学家。起初，他们尝试了泰勒所说的“本地化”：对怀尔斯不完全证明中使用的方法进行细微的修改来修复错误。

但这并没有帮助。泰勒回忆说，然后他们决定“扩大范围，撒下更大的网来寻找其他方法”。他们整个春夏都在工作，经常在深夜的电话上长时间讨论。“我从来没有收到过这么贵的电话费，”泰勒说。

但到了 1994 年 9 月，他们的努力仍然毫无进展。就在他准备向世界承认失败之前，怀尔斯决定“最后一次检查”他的方法的原始结构，试图找出它不起作用的确切原因。在英国广播公司的纪录片《证明》中，他讲述了随后的故事。“突然，完全出乎意料地，我有了一个令人难以置信的发现。”在失败技术的灰烬中，隐藏着证明另一个猜想的工具。那个工具就是“岩泽理论”。三年前他放弃了这种方法，但现在他能够用它来完全纠正缺陷并证明费马大定理。“它美得难以形容，它是如此简单和优雅。我难以置信地盯着它。”

凭借这一理论，怀尔斯和泰勒很快在几周内就修复了论文中的漏洞。1995年5月，他们在国际顶级期刊《数学年鉴》上发表了两篇整合了他们全部工作的论文，最终证明和相关讨论长达130页。

这就是费马没有写下来的证明吗？算术边缘无法容纳的“精彩证明”吗？唯一合理的答案是“不”。为了证明费马大定理，怀尔斯使用了最新的数学工具和思想，这些工具和思想是在费马时代之后很久才发明的。大多数数学家认为费马定理是一个错误。如果他确信自己知道证明，那他可能只是把自己搞糊涂了。

但费马是对是错并不重要。古希腊人点燃了数论领域的火焰，费马用误导性的夸夸其谈将这束即将熄灭的火焰煽动成数学的一个主要分支。他这位不完美的天才留给我们的数学遗产远比他推导出猜想的琐碎细节重要得多。

幸运的是，怀尔斯的错误只是一个小缺陷，可以得到补救。

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